Переписка материалистов

Опять же в интернете отыскал нечто интересное:
"От mi3ch

Несколько историй для детей про визуализацию математики из книги Стивена Строгаца «Удовольствие от х»

В школе нам не объясняли почему площадь круга равна пи эр квадрат.
Просто говорили, что это так. Между тем ребенок запомнит это гораздо лучше, если поймет, как к этому пришли. Точнее – увидит.

Можно разрезать круг на четыре части и сложить его иначе. Понятно, что площадь круга от этого не изменится. Видно, что две нижние дуги имеют общую длину, равную половине длины окружности исходного круга (потому что другая половина окружности приходится на две дуги сверху). Поскольку длина всей окружности в π раз больше диаметра, то ее половина в π раз больше половины диаметра, то есть радиуса r. Вот почему на рисунке показано, что πr — суммарная длина дуг фестонов в нижней части фигуры.
Во-вторых, прямые стороны кусочков имеют длину r, так как каждая из них первоначально была радиусом окружности

Повторим это же уже с восемью отрезками круга. Теперь фигура приобрела менее странную форму. Дуги сверху и снизу по-прежнему существуют, но они не столь ярко выражены. Еще одно усовершенствование: левая и правая стороны изогнутой фигуры стали более вертикальными, чем раньше. Несмотря на все изменения, два факта остаются постоянными: дуги внизу по-прежнему имеют длину πr, а каждая сторона — длину r. И конечно, площадь фигуры та же — это площадь исходного круга, так как это просто фигура, составленная из восьми частей круга.

По мере увеличения числа отрезков происходит нечто чудесное: фестоны все больше и больше разглаживаются, превращая фигуру в прямоугольник. Дуги становятся более плоскими, а стороны — почти вертикальными.

В пределе бесконечно большого числа частей фигура превратится в прямоугольник. Но, как и прежде, два факта все еще остаются неизменными: нижняя сторона прямоугольника равна πr, а высота — r. А площадь прямоугольника равна его ширине, умноженной на высоту, то есть произведение πr и r дает площадь прямоугольника, равную πr2"